Question

已知：如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；

已知：如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ。若设运动的时间为t（s）（0<t<4）。解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（cm 2 ），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中， ， 由题意知：AP=5-t，AQ=2t， 若PQ∥BC， 则△APQ∽△ABC， ∴ ， ∴ ， ∴ ；
（2）过点P作PH⊥AC于H， ∵△APH∽△ABC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 。
（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ， ∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t）， 解得：t=1， 若PQ把△ABC面积平分，则 ， 即 ， ∵t=1代入上面方程不成立， ∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N， 若四边形PQP′C是菱形，那么PQ=PC， ∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM， ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得： ， ∴当 时，四边形PQP′C 是菱形， 此时， ， ， 在Rt△PMC中， ， ∴菱形PQP′C的边长为 。