Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx 2 +（m-3）x-3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx 2 +（m-3）x-3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。（1）求点A的坐标；（2）当∠ABC=45°时，求m的值；（3）已知一次函数y=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx 2 +（m-3）x-3（m＞0）的图象于N，若只有当-2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式

Answer 1

解：（1）∵ 点A、B是二次函数y=mx 2 +（m-3）x-3 （m>0）的图象与x轴的交点， ∴令y=0，即mx 2 +（m-3）x-3=0， 解得x 1 =-1， x 2 = ， 又∵点A在点B左侧且m>0， ∴点A的坐标为（-1，0）；
（2）由（1）可知点B的坐标为（ ，0）， ∵二次函数的图象与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，-3）， ∵∠ABC=45°， ∴ =3， ∴m=1；
（3） 由（2）得，二次函数解析式为y=x 2 -2x-3， 依题意并结合图象 可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2，由此可得交点坐标为（-2，5）和（2，-3）， 将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中， 得-2k+b=5，且2k+b=-3， 解得k=-2，b=1， ∴一次函数的解析式为y=-2x+1。