Question

如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“

如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题． （1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）

Answer 1

（1）根据平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，（或用全等）根据平行四边形的判定推出即可。 （2）根据等腰梯形和平行四边形的判定判断即可。

分析：（1）根据平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，（或用全等）根据平行四边形的判定推出即可。 （2）根据等腰梯形和平行四边形的判定判断即可。 解：（1）以①②作为条件构成的命题是真命题，证明如下： ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD。∴ 。 ∵AO=OC，∴OB=OD。 ∴四边形ABCD是平行四边形。 （2）ⅰ）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即：如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形； ⅱ）根据②③作为条件构成的命题是假命题，即：如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形。