Question

设函数 ，曲线 在点 处的切线方程 。（1）求 的解析式；（2）证明：曲线 上任一点处

设函数 ，曲线 在点 处的切线方程 。（1）求 的解析式；（2）证明：曲线 上任一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

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Answer 1

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解：（Ⅰ）方程 可化为 ． 当 时， ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 又 ， 于是 解得 故 ．┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）设 为曲线上任一点，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 由 知曲线在点 处的切线方程为 ，即 ．┈┈┈┈┈┈┈2分 令 得 ，从而得切线与直线 的交点坐标为 , 令 得 ，从而得切线与直线 的交点坐标为 .┈┈┈┈┈4分 所以点 处的切线与直线 ， 所围成的三角形面积为 ． 故曲线 上任一点处的切线与直线 ， 所围成的三角形的面积为定值， 此定值为 ．                                   ┈┈┈┈┈┈┈┈2分