Question

设an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3，设数列cn=b下标(2n-1)，求数列ncn的前n项和

Answer 1

由a2+a4=b3，b2b4=a3得
2+4d=q^2,(1)
q^4=1+2d.(2)
把（1）代入（2），q^2=2q^4,q≠0，
∴q^2=1/2,
∴cn=b<2n-1>=q^(2n-2)=1/2^(n-1),
∴数列{ncn}的前n项和
Sn=1+2/2+3/2^2+……+n/2^(n-1),(3)
(1/2)Sn=1/2+2/2^2+……+（n-1)/2^(n-1)+n/2^n,(4)
(3)-(4),得（1/2)Sn=1+1/2+1/2^2+……+1/2^(n-1)-n/2^n
=2-1/2^(n-1)-n/2^n,
∴Sn=4-(2+n)/2^(n-1).

Answer 2

a2+a4=2a3=b3...(1)
b2b4=b3^2=a3...(2)
由（1）（2），得b3=1/2
b3/b1=q^2=1/2,得q=1/根号2 ，bn=(1/根号2）^(n-1),b(2n-1)=(1/根号2)^(2n-1)
ncn=nq^(2n-1)
sn=1q^1+2q^3+...+nq^(2n-1)..(3)
q^2sn=1q^3+2q^5+...+nq^(2n+1)..(4)
(3)-(4)，得（1-q^2）sn=【q+q^3+q^5+...+q^(2n-1)】-q^(2n+1)