如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半
如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O′的切线，AD⊥CD于点D．（1）求证：∠CAD=∠...
如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙O′的切线，AD⊥CD于点D．（1）求证：∠CAD=∠CAB；（2）已知抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，AB=10，tan∠CAD=12．①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；③在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
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（1）证明：连接O′C，∵CD是⊙O′的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB；
（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
即OC2=OA?OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=
| 1 |
| 2 |
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO（10-2CO），
解得CO1=4，CO2=0（舍去），
∴CO=4，AO=8，BO=2
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得：
|
解得：
|
∴抛物线的解析式为：y=-
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴
| O′F |
| AF |
| O′C |
| AD |
∴O′F?AD=O′C?AF，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=
| 10 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则
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