Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f（ab）=af（b）+bf（a） (1)求f（0）

(1)求f（0），f（1）的值
（2)判断f（x）的奇偶性

Answer 1

(1)取a=0、b=-1。
f[0*(-1)]=f(0)=0*f(-1)+(-1)f(0)=-f(0)。
所以，2f(0)=0、f(0)=0。
取a=1、b=1。
f(1*1)=f(1)=f(1)+f(1)、f(1)=0。
(2)取a=-1、b=-1。
f[(-1)*(-1)]=f(1)=0=(-1)f(-1)+(-1)f(-1)=-2f(-1)、f(-1)=0。
取a=-1、b=x。
f[(-1)x]=f(-x)=(-1)f(x)+xf(-1)=-f(x)，f(x)为奇函数。

Answer 2

1) f(ab)=af(b)+bf(a)
则 f(0) = f(0*0)=0f(0)+0f(0) = 0
f(1) = f(1*1)=1f(1)+1f(1)= 2f(1)
即f(1)=2f(1) 当f(1)=0时等式成立。所以f(1)=0

2).0=f(1)=f(-1*-1)=-1*f(-1)-1*f(-1)=-2f(-1)
所以 f(-1)=0
f(-a)=f(-1*a)= -1f(a)+af(-1) = -f(a)
则 f(x)为奇函数

纯手打 望采纳