Question

已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．（1）求C1的顶点坐标；（2）在如图所示的直角坐

已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．（1）求C1的顶点坐标；（2）在如图所示的直角坐标系中画出C1的大致图象．（3）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；（4）若P（n，y1），Q（1，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=x²+2x+m可化为y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，
∴对称轴为x=-1，
∵与x轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，即m=1，
∴C₁的顶点坐标为（-1，0）；

（2）∵C₁的顶点坐标为（-1，0）
∴此函数的解析式为y=（x+1）²，
其图象如图所示．

（3）设C₂的函数关系式为y=（x+1）²+k，
∵C₂与x轴的一个交点为A（-3，0）
∴把A（-3，0）代入得（-3+1）²+k=0，得k=-4，
∴C₂的函数关系式为y=（x+1）²-4．
∵抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．

（4）∵Q（1，y₂）是C₁上的点，
∴当x=1时，y₂=4，即Q（1，4），
∴n＞1或n＜-3时，y₁＞y₂．