Question

四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，AB=4cm，求EF的长

四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，AB=4cm，求EF的长．

Answer 1

如图，

作AB的中点G，连接GE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4cm∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵点G是A B的中点，点E是边BC的中点，
∴AG=EC=BG=BE=2cm，
∴△BGE是等腰直角三角形．∠AGE=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
又∵EF交正方形外角的平分线CF于点F，
∴∠ECF=135°，
∴∠ECF=∠AGE，
在△AGE和△ECF中，

∠BAE＝∠FEC AG＝EC ∠AGE＝∠ECF

∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴EF=AE，
在Rt△ABE中，AE=

AB2+BE2

=

42+22

=

20

=2

5

cm．
∴EF═2

5

cm．