Question

（2014?镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．（1）求证：EA是

（2014?镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．

Answer 1

证明：（1）如图1，连接CD，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴EA是⊙O的切线，
（2）如图2，连接BC，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中点，
∴在RT△EAF中，AB=BF，
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA，
（3）∵△EAF∽△CBA，
∴

AB

AF

=

AC

EF

，
∵AF=4，CF=2．
∴AC=6，EF=2AB，
∴

AB

4

=

6

2AB

，解得AB=2

3

．
∴EF=4

3

，
∴AE=

EF2?AF2

=

(4 3 )2?42

=4

2

，