已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-n(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通

已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-n(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)记bn=an+1anan+1,... 已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-n(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)记bn=an+1anan+1,求数列{bn}的前n项和. 展开
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山城的16
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(1)∵Sn=2an-n,
∴n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1.
n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-n)-(2an-1-n+1)
=2an-2an-1-1,
∴an=2an-1+1,
∴an+1=2(an-1+1),
∵a1+1=2,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
an+1=2n
an2n?1
(2)∵bn=
an+1
anan+1
=
2n
(2n?1)(2n+1?1)
=
1
2n?1
?
1
2n+1?1

∴数列{bn}的前n项和:
Sn=
1
2?1
?
1
22?1
+
1
22?1
-
1
23?1
+
1
2n?1
?
1
2n+1?1

=1-
1
2n+1?1

=
2n+1?2
2n+1?1

∴数列{bn}的前n项和为
2n+1?2
2n+1?1
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