Question

一题大学概率论问题（求最大似然估计量的）

设总体X服从参数为m，p的二项分布，m已知，p未知，（x1，。。。Xn）是来自总体X的一个简单随机样本，求参数P的最大似然估计量
跪求过程。

Answer 1

P(X=xi)=C(m,xi)*p^xi*(1-p)^(m-xi)
所以极大似然函数：
L(x1,x2……xn,p)=C(m,x1)*C(m,x2)……*C(m,xn)*p^(∑xi)*(1-p)^(mn-∑xi)
取对数ln L=ln(C(m,x1)*C(m,x2)……*C(m,xn))+(∑xi)lnp+(mn-∑xi)ln(1-p)
对p求导
d(ln L)/dp=(∑xi)/p-(mn-∑xi)/(1-p)
在p=(∑xi)/mn时，d(ln L)/dp=0，且此时L取最大值
所以p的极大似然估计是p=(∑xi)/mn

Answer 2

对数似然函数lnL=ΣlnCmxi +Σxilnp+(nm-Σxi)ln(1-p),所以对p求导并使其为零可得
dlnL/dp=Σxi/p-(nm-Σxi)/(1-p)=0,即Σxi/p=(nm-Σxi)/(1-p)，从而Σxi=nmp，所以p的最大似然估计为
Σxi/nm

Answer 3