Question

柯西不等式的证明！

Answer 1

二维形式的证明
　　(a+b)(c+d)　(a,b,c,d∈R)
　　=a·c +b·d+a·d+b·c
　　=a·c +2abcd+b·d+a·d－2abcd+b·c
　　=(ac+bd)+(ad－bc)
　　≥(ac+bd)，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
三角形式的证明
　　√(a+b)+√(c+d2)≥√[(a-c)+(b-d)崀
　　证明：[√(a+b)+√(c+d)]=a+b+c+d+2·√(a+b)·√(c+d)
　　≥a+b+c+d+2|ac+bd|
　　≥a+b+c+d+2(ac+bd)
　　=a+2ac+c+b+2bd+d
　　=(a+c)+(b+d)
　　两边开根号即得 √(a+b)+√(c+d)≥√[(a+c)+(b+d)崀
　　注：| |表示绝对值。
向量形式的证明
　　令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn)
　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<m,n>
　　∵cos<m,n>≤1
　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)

Answer 2