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2008年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
参考公式：如果事件 互斥，那么 ．
已知 是正整数，则 ．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知 ，复数 的实部为 ，虚部为1，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
一年级 二年级 三年级
女生 373
男生 377 370
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若变量 满足 则 的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
6．已知命题 所有有理数都是实数，命题 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
9．阅读图3的程序框图，若输入 ， ，则输出
， ．
（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“ ”）
10．已知 （ 是正整数）的展开式中， 的系数小于
120，则 ．
11．经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线方程是 ．
12．已知函数 ， ，则 的最小正周期是 ．
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 的极坐标方程分别为 ， ，则曲线 与 交点的极坐标为 ．
14．（不等式选讲选做题）已知 ，若关于 的方程 有实根，则 的取值范围是 ．
15．（几何证明选讲选做题）已知 是圆 的切线，切点为 ， ． 是圆 的直径， 与圆 交于点 ， ，则圆 的半径 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知函数 ， 的最大值是1，其图像经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 ．
（1）求 的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 ．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
18．（本小题满分14分）
设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ．如图4所示，过点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆的右焦点 ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
19．（本小题满分14分）
设 ，函数 ， ， ，试讨论函数 的单调性．
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥 的底面 是半径为 的圆的内接四边形，其中 是圆的直径， ， ， 垂直底面 ， ， 分别是 上的点，且 ，过点 作 的平行线交 于 ．
（1）求 与平面 所成角 的正弦值；
（2）证明： 是直角三角形；
（3）当 时，求 的面积．
21．（本小题满分12分）
设 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ， ， （ …）．
（1）证明： ， ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ， ，求 的前 项和 ．
2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
一、选择题：C D C C A D B B
1．C【解析】 ，而 ，即 ，
2．D【解析】 ， ，故
3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是 ，即总体中各个年级的人数比例为 ，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
4．C 5．A
6．D【解析】不难判断命题 为真命题，命题 为假命题，从而上述叙述中只有 为真命题
7．B【解析】 ，若函数在 上有大于零的极值点，即 有正根。当有 成立时，显然有 ，此时 ，由 我们马上就能得到参数 的范围为 。
8．B
二、填空题：
9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过 整除 的条件运算，而同时 也整除 ，那么 的最小值应为 和 的最小公倍数12，即此时有 。
10．【解析】 按二项式定理展开的通项为 ，我们知道 的系数为 ，即 ，也即 ，而 是正整数，故 只能取1。
11．【解析】易知点C为 ，而直线与 垂直，我们设待求的直线的方程为 ，将点C的坐标代入马上就能求出参数 的值为 ，故待求的直线的方程为 。
12．【解析】 ，故函数的最小正周期 。
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．【解析】由 解得 ，即两曲线的交点为 。
14．
15．【解析】依题意，我们知道 ,由相似三角形的性质我们有 ,即 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得 ，而 ， ， ，故 ；
（2）依题意有 ，而 ，
，
。
17．解：（1） 的所有可能取值有6，2，1，-2； ，
，
故 的分布列为：
6 2 1 -2
0.63 0.25 0.1 0.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为 ，则此时1件产品的平均利润为
依题意， ，即 ，解得
所以三等品率最多为
18．解：（1）由 得 ，
当 得 ， G点的坐标为 ，
， ，
过点G的切线方程为 即 ，
令 得 ， 点的坐标为 ，
由椭圆方程得 点的坐标为 ， 即 ，
即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；
（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 ,
以 为直角的 只有一个，同理 以 为直角的 只有一个。
若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ，
。
关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个，
因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。
19．解： ，
对于 ，
当 时，函数 在 上是增函数；
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数；
对于 ，
当 时，函数 在 上是减函数；
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数。
20．解：（1）在 中，
，
而PD垂直底面ABCD，
,
在 中， ,即 为以 为直角的直角三角形。
设点 到面 的距离为 ,
由 有 ,
即 ，
;
(2) ,而 ,
即 , ， , 是直角三角形；
（3） 时 , ,
即 ,
的面积
21．解：（1）由求根公式，不妨设 ，得
，
（2）设 ，则 ，由
得， ，消去 ，得 ， 是方程 的根，
由题意可知，
①当 时，此时方程组 的解记为
即 、 分别是公比为 、 的等比数列，
由等比数列性质可得 , ,
两式相减，得
， ，
，
，即 ，
②当 时，即方程 有重根， ，
即 ，得 ，不妨设 ，由①可知
， ，
即 ，等式两边同时除以 ，得 ，即
数列 是以1为公差的等差数列，
综上所述，
（3）把 ， 代入 ，得 ，解得
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
参考公式：如果事件 互斥，那么 ．
已知 是正整数，则 ．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知 ，复数 的实部为 ，虚部为1，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
一年级 二年级 三年级
女生 373
男生 377 370
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若变量 满足 则 的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
6．已知命题 所有有理数都是实数，命题 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
9．阅读图3的程序框图，若输入 ， ，则输出
， ．
（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“ ”）
10．已知 （ 是正整数）的展开式中， 的系数小于
120，则 ．
11．经过圆 的圆心 ，且与直线 垂直的直线方程是 ．
12．已知函数 ， ，则 的最小正周期是 ．
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 的极坐标方程分别为 ， ，则曲线 与 交点的极坐标为 ．
14．（不等式选讲选做题）已知 ，若关于 的方程 有实根，则 的取值范围是 ．
15．（几何证明选讲选做题）已知 是圆 的切线，切点为 ， ． 是圆 的直径， 与圆 交于点 ， ，则圆 的半径 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知函数 ， 的最大值是1，其图像经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 ．
（1）求 的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 ．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
18．（本小题满分14分）
设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ．如图4所示，过点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆的右焦点 ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
19．（本小题满分14分）
设 ，函数 ， ， ，试讨论函数 的单调性．
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥 的底面 是半径为 的圆的内接四边形，其中 是圆的直径， ， ， 垂直底面 ， ， 分别是 上的点，且 ，过点 作 的平行线交 于 ．
（1）求 与平面 所成角 的正弦值；
（2）证明： 是直角三角形；
（3）当 时，求 的面积．
21．（本小题满分12分）
设 为实数， 是方程 的两个实根，数列 满足 ， ， （ …）．
（1）证明： ， ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ， ，求 的前 项和 ．
2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
一、选择题：C D C C A D B B
1．C【解析】 ，而 ，即 ，
2．D【解析】 ， ，故
3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是 ，即总体中各个年级的人数比例为 ，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
4．C 5．A
6．D【解析】不难判断命题 为真命题，命题 为假命题，从而上述叙述中只有 为真命题
7．B【解析】 ，若函数在 上有大于零的极值点，即 有正根。当有 成立时，显然有 ，此时 ，由 我们马上就能得到参数 的范围为 。
8．B
二、填空题：
9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过 整除 的条件运算，而同时 也整除 ，那么 的最小值应为 和 的最小公倍数12，即此时有 。
10．【解析】 按二项式定理展开的通项为 ，我们知道 的系数为 ，即 ，也即 ，而 是正整数，故 只能取1。
11．【解析】易知点C为 ，而直线与 垂直，我们设待求的直线的方程为 ，将点C的坐标代入马上就能求出参数 的值为 ，故待求的直线的方程为 。
12．【解析】 ，故函数的最小正周期 。
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．【解析】由 解得 ，即两曲线的交点为 。
14．
15．【解析】依题意，我们知道 ,由相似三角形的性质我们有 ,即 。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得 ，而 ， ， ，故 ；
（2）依题意有 ，而 ，
，
。
17．解：（1） 的所有可能取值有6，2，1，-2； ，
，
故 的分布列为：
6 2 1 -2
0.63 0.25 0.1 0.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为 ，则此时1件产品的平均利润为
依题意， ，即 ，解得
所以三等品率最多为
18．解：（1）由 得 ，
当 得 ， G点的坐标为 ，
， ，
过点G的切线方程为 即 ，
令 得 ， 点的坐标为 ，
由椭圆方程得 点的坐标为 ， 即 ，
即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；
（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 ,
以 为直角的 只有一个，同理 以 为直角的 只有一个。
若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ，
。
关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个，
因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。
19．解： ，
对于 ，
当 时，函数 在 上是增函数；
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数；
对于 ，
当 时，函数 在 上是减函数；
当 时，函数 在 上是减函数，在 上是增函数。
20．解：（1）在 中，
，
而PD垂直底面ABCD，
,
在 中， ,即 为以 为直角的直角三角形。
设点 到面 的距离为 ,
由 有 ,
即 ，
;
(2) ,而 ,
即 , ， , 是直角三角形；
（3） 时 , ,
即 ,
的面积
21．解：（1）由求根公式，不妨设 ，得
，
（2）设 ，则 ，由
得， ，消去 ，得 ， 是方程 的根，
由题意可知，
①当 时，此时方程组 的解记为
即 、 分别是公比为 、 的等比数列，
由等比数列性质可得 , ,
两式相减，得
， ，
，
，即 ，
②当 时，即方程 有重根， ，
即 ，得 ，不妨设 ，由①可知
， ，
即 ，等式两边同时除以 ，得 ，即
数列 是以1为公差的等差数列，
综上所述，
（3）把 ， 代入 ，得 ，解得
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童鞋，你仔细看看你给的答案，你让我情何以堪……
追答
不好意思，刚刚发错了，你加780773042，直接发你！
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