Question

大神们我想问一下第三小题为啥选C选项呢？？？？请给过程吧 谢谢啦

Answer 1

g(a)=0时 ，F(a)=0，F'(a)=lim(x→a) F(x)/(x-a)=lim(x→a) f(x)*[g(x(-g(a)]/(x-a)=f(a)*g'(a)。所以g(a)=0是F(x)在x=a可导的充分条件。
反之，若F(x)在x=a可导，则lim (F(x)-F(a))/(x-a)存在，(F(x)-F(a))/(x-a)=(f(x)g(x)-f(a)g(a))/(x-a)=(f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a))/(x-a)=f(x)*(g(x)-g(a))/(x-a) + g(a)*(f(x)-f(a))/(x-a)，已知f(x)*(g(x)-g(a))/(x-a)的极限是f(a)*g'(a)，所以g(a)*(f(x)-f(a))/(x-a)的极限也存在，如果g(a)≠0，那么(f(x)-f(a))/(x-a)的极限也存在，所以f(x)在x=a可导，矛盾，所以g(a)=0。
综上，答案是：充要条件。

追问

辛苦啦 谢谢

Answer 2

若F(x)可导，由可导函数间的和差积商亦可导，因为g(x)可导，若g(a)不等于0，则f(x)=F(x)/g(x)可导，这与条件矛盾，故g(a)=0,为必要条件
若g(a)=0,则F'(a)=limf(x)g(x)/(x-a)=limf(x)[g(x)-g(a)]/(x-a)=limf(a)g'(a)=f(a)g'(a)存在，故为充分条件