Question

如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒

如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使长方体盒子的底面积为 ，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由； （3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

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Answer 1

解：（1）设正方形的边长为cm，则 ．   即 ．解得 （不合题意，舍去）， ．    剪去的正方形的边长为1cm． （2）有侧面积最大的情况．   设正方形的边长为 cm，盒子的侧面积为 cm 2 ，   则 与x的函数关系式为：     ．   即 ．   改写为 ．   ∴当 时， ．   即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2 ． （3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为 cm，盒子的侧面积为 y cm 2 ．   若按图1所示的方法剪折，则 与 x 的函数关系式为：                 即 ．    ∴当 时， ．   若按图2所示的方法剪折，则 与 x 的函数关系式为：                即 ．    ∴当 时， ．   比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为 cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为 cm 2 ．