Question

已知椭圆 的离心率为 ,且过点 ． （1）求椭圆的标准方程；（2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角

已知椭圆 的离心率为 ,且过点 ． （1）求椭圆的标准方程；（2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 A C、BD 过原点 O ，若 ,（i） 求 的最值．（ii） 求证：四边形 ABCD 的面积为定值；

Answer 1

已知椭圆 的离心率为 ,且过点 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）四边形 ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线 A   C、BD 过原点 O ，若 , （i） 求 的最值． （ii） 求证：四边形 ABCD 的面积为定值；

(1) . (2)(i) 的最大值为2.  (ii) .即,四边形 ABCD 的面积为定值

试题分析：(1)由题意 ， ，又 ，              2分 解得 ,椭圆的标准方程为 .                      4分 (2)设直线 AB 的方程为 ，设 联立 ，得        -①                                                     6分                                7分 =                           8分                                                     9分 (i) 当 k =0(此时 满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴时， 的最小值为-2. 又直线 AB 的斜率不存在时 ，所以 的最大值为2.              11分 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d ，则 . 即,四边形 ABCD 的面积为定值                      13分 点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式.