Question

已知正项数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n +a n =1， （1）求数列{a n } 的通项公式；（2）设 ，则

已知正项数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n +a n =1， （1）求数列{a n } 的通项公式；（2）设 ，则是否存在数列{b n }，满足b 1 c 1 +b 2 c 2 +…+b n c n =（2n-1）2 n+1 +2对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列{b n }的通项公式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）当n=1时， ，故 ； 当 时， ， 两式相减得到 ， 所以数列 为首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 。  （2）因为 ， 所以 ， 若存在满足题意的数列 ， 则 ， 两式相减，得到 ， 由 ， 得到 ，满足上式。 所以，存在满足题意的数列 ，通项公式为 。