Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}对任意正整数n，均有c1b1+c2b2+c3b3+…+cnbn=an+1，求数列{cn}的通项公式并计算c1+c2+c3+…+c2012的值．

Answer 1

（I）设等差数列的公差为d，
由a₂，a₅，a₁₄成等比数列，可得(a5)2＝a2?a14，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
又等比数列{b_n}中b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴公比为3，∴bn＝3?3n?2=3^n-1，
∴bn＝3n?1；
（ II）由

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

＝an+1，得

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn?1

bn?1

＝an（n≥2），
两式相减得：

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2?3^n-1，n≥2，
n=1时，c₁=a₂?b₁=3，
∴cn＝

3 2?3n?1

，
∴c1+c2+c3+…+c201