Question

（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14且Sn=Sn-1+an-1+12，数列{bn}满足b1=-1194且3bn-bn-1=n（n≥2且n

（文）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=14且Sn=Sn-1+an-1+12，数列{bn}满足b1=-1194且3bn-bn-1=n（n≥2且n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn-an}为等比数列；（3）求{bn}前n项和的最小值．

Answer 1

（1）由S_n=S_n-1+a_n-1+

1

2

，得S_n-S_n-1=a_n-1+

1

2

，2a_n=2a _n-1+1，a_n-a _n-1+

1

2

…2分
∴a_n=a₁+（n-1）d=

1

2

n-

1

4

（2）证明：∵3b_n-b_n-1=n，∴b_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n，
∴b_n-a_n=

1

3

b_n-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

b_n-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

（b_n-1-

1

2

n+

3

4

）；
b_n-1-a_n-1=b_n-1-

1

2

（n-1）+

1

4

=b_n-1-

1

2

n+

3

4

；
∴由上面两式得

bn?an

bn?1?an?1

＝

1

3

，又b₁-a₁=-

119

4

-

1

4

=-30
∴数列{b_n-a_n}是以-30为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（3）由（2）得b_n-a_n=-30×(

1

3

)