Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3

设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足a1cn+a2cn?1+…+an?1c2＝2n+1?n?2对任意n∈N*都成立；求证：数列{cn}是等比数列．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q（q＞0）
由题意得

d+3q＝7 q+q2?d＝5

 解得

d＝1 q＝2

，
∴a_n=n，b_n=3×2^n-1；
（Ⅱ）由c_n+2c_n-1+…+（n-1）c₂+nc₁=2ⁿ⁺¹-n-2
知c_n-1+2c_n-2+…+（n-2）c₂+（n-1）c₁=2ⁿ-（n-1）-2（n≥2）
两式相减：c_n+c_n-1+…+c₂+c₁=2ⁿ-1（n≥2）
∴c_n-1+…+c₂+c₁=2^n-1-1（n≥3）
∴c_n=2^n-1（n≥3）
当n=1，2时，c₁=1，c₂=2，适合上式．
∴c_n=2^n-1（n∈N^*）．
即{c_n}是等比数列