Question

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，E为AB的中点，BA1⊥A

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，E为AB的中点，BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角B-A1E-C余弦值的大小．

Answer 1

证明：（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，
因为A₁D⊥底ABC，所以A₁D⊥BC，
因为A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，
所以BC⊥AC₁，
因为BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，
所以AC₁⊥底A₁BC
（II）由（I）知AC₁⊥A₁C，ACC₁A₁为菱形，
∴∠A₁AC=60°AA₁=AC=A₁C=2，
又CE=EA，故△A₁AE≌△A₁CE．
作AF⊥A₁E于F，连CF，则CF⊥A₁E，
故∠AFC为二面角A-A₁E-C的平面角，
∵A1E＝

A1D2+DE2

＝2，AF＝CF＝

AE? AA12?( AE 2 )2

A1E

＝

7

4

∴cos∠AFC＝

AF2+CF2?AC2

2AF?CF

＝?

1

7

．
故二面角B-A₁E-C余弦值的大小

1

7

．