Question

（2013?江西）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=

（2013?江西）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=32，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．

Answer 1

解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，
∴AE=

1

2

BD，可得∠BAD=

π

2

，且∠ABE=∠AEB=

π

3

∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=

π

3

∴∠FED=∠FEA=

π

3

，可得EF⊥AD，AF=FD
又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴FG⊥AD
又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；
（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得
A（0，0，0），B（1，0，0），C（

3

2

，

3

2

，0），D（0，

3

，0），P（0，0，

3

2

）
∴

BC

=（

1

2

，

3

2

，0），

CP

=（-

3

2

，-

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