Question

已知{an}，是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列{an}的通项公式（2）记Sn为数

已知{an}，是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列{an}的通项公式（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞30n+400？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．（3）若数列{an}和数列{bn}满足等式an=b12+b222+b323+…+bn2n（n为正整数），求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是等差数列，
∴a₃+a₆=a₂+a₇=16，
由

a3+a6＝16 a3?a6＝55

，解得：

a3＝5 a6＝11

或

a3＝11 a6＝5

，
∵d＞0，
∴

a3＝5 a6＝11

，
∴d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）当a_n=2n-1时，Sn＝

n[1+(2n?1)]

2

＝n2．
令n²＞30n+400，即n²-30n-400＞0，
解得n＞40或n＜-10（舍去），
此时存在正整数n，使得S_n＞30n+400成立，n的最小值为41．
（3）∵a_n=

b1

2

+

b2

22

+

b3

23

+…+

bn

2n

，
∴当n≥2时，a_n-1=

b1

2

+

b2

2

+…+

bn?1

2n?1

，
∴an?an?1＝

bn

2n

(n≥2)，
∴

bn

2n

=2（n≥2），
∴b_n=2ⁿ⁺¹（n≥2）．
∴bn＝

2，n＝1 2n+1，n≥2

，
∴Tn＝2+23+24+…+2n+1＝2+

8(1?2n?1)

1?2

＝2n+2?6，
当n=1时也成立．
∴T_n=2ⁿ⁺²-6．