设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，-2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点
设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，-2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相...
设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，-2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1?x2＞e2．
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在区间（0，+∞）上，f′(x)＝
?a＝
．…（1分）
（1）当a=2时，f′（1）=1-2=-1，则切线方程为y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0 …（3分）
（2）①若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，
∵f（1）=-a＞0，f（ea）=a-aea=a（1-ea）＜0，
∴f（1）?f（ea）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．…（6分）
②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．…（7分）
③若a＞0，令f′（x）=0得：x＝
．
在区间（0，
）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在区间（
，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（
）=ln
?1＝?lna?1．
由于f（x）无零点，须使f(
)＝?lna?1＜0，解得：a＞
．
故所求实数a的取值范围是（
，+∞）．…（9分）
（3）设x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，
∴lnx1-lnx2=a（x1-x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）
原不等式x1?x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2?a（x1+x2）＞2?
＞
?ln
＞
令
＝t，则t＞1，于是ln
＞
?lnt＞
| 1 |
| x |
| 1?ax |
| x |
（1）当a=2时，f′（1）=1-2=-1，则切线方程为y-（-2）=-（x-1），即x+y+1=0 …（3分）
（2）①若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，
∵f（1）=-a＞0，f（ea）=a-aea=a（1-ea）＜0，
∴f（1）?f（ea）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．…（6分）
②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．…（7分）
③若a＞0，令f′（x）=0得：x＝
| 1 |
| a |
在区间（0，
| 1 |
| a |
在区间（
| 1 |
| a |
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
由于f（x）无零点，须使f(
| 1 |
| a |
| 1 |
| e |
故所求实数a的取值范围是（
| 1 |
| e |
（3）设x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，
∴lnx1-lnx2=a（x1-x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）
原不等式x1?x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2?a（x1+x2）＞2?
| lnx1?lnx2 |
| x1?x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| x1 |
| x2 |
| 2(x1?x2) |
| x1+x2 |
令
| x1 |
| x2 |
| x1 |
| x2 |
| 2(x1?x2) |
| x1+x2 |
2(t?1)
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