Question

已知函数f（x）=a-23x+1是在R上的奇函数，（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性；（3）若

已知函数f（x）=a-23x+1是在R上的奇函数，（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性；（3）若对于任意实数t∈1，2，不等式f（t+2）+f（k?t2-1）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）=a-

2

3x+1

是在R上的奇函数，
则有f（0）=0，即a-

2

30+1

=0，解得，a=1，
f（x）=1-

2

3x+1

=

3x?1

3x+1

，f（-x）=

3?x?1

3?x+1

＝

1?3x

1+3x

=-f（x），则f（x）为奇函数，
故a=1；
（2）由于f（x）=1-

2

3x+1

，在R上3x递增，

2

3x+1

递减，
则f（x）在R上递增；
（3）不等式f（t+2）+f（k?t²-1）＞0恒成立，即为
f（k?t²-1）＞-f（t+2）=f（-t-2），
由f（x）在R上递增，即有k?t²-1＞-t-2，
则k＞-

1

t2

?

1

t

对于任意实数t∈

1

，

2

成立，
而-

1

t2

?

1

t

=-（

1

t

+

1

2

）²+

1

4

，
由于

1

t

∈[

1

2

，1]，则t=2取得最大值，且为-

3

4

．
则k＞-

3

4

．
即有k的取值范围是（-

3

4

，+∞）．