Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，AD⊥AB，E是PC的中点，PA=BC=2AD=1，AB=2，∠PA

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，AD⊥AB，E是PC的中点，PA=BC=2AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．（1）求证：DE∥平面PAB；（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；（3）求三棱锥D-PAC的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：取PB的中点O，连接OA，OE，则EO∥BC∥DA，且EO=DA，
∴四边形DAOE是平行四边形，
∴DE∥AO，
∵DE?平面PAB，AO?平面PAB，
∴DE∥平面PAB；
（2）证明：∵BC⊥PB，
∴DA⊥PB，
∵AD⊥AB且AB∩PB=B，
∴DA⊥平面PAB，
又∵DA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB；
（2）∵V_D-PAC=V_P-DAC=V_P-ABC=V_C-PAB，
由（1）知DA⊥平面PAB，且AD∥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴V_C-PAB=

1

3

S_△PAB?BC=

1

3

×

1

2

PA×ABsin∠PAB?BC=

1

6

×1×2×

3

2

×1=

3

6