Question

数学题要过程，谢谢

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合，已知AB=2倍根号下3，P是AC上的一个动点。（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时平行四边形DPBQ的面积？

Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB=2 3，∠BAC=30°，
∴BC= 3，AC=3．
（1）如图（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF= 32．

∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF= 12，
∴DP= PF2+DF2= 102．
（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF= 32，∠ADF=45°，又PD=BC= 3，
∴cos∠PDF= DFPD= 32，
∴∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．

（3）CP= 32．
在□DPBQ中，BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴DP⊥AC．
根据（1）中结论可知，DP=CP= 32，
∴S□DPBQ=DP•CP= 94．