Question

高考数学：已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为e=√3/3,以原点O为圆心

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Answer 1

（Ⅰ）由圆与直线相切可知：圆心(0，0)到直线x-y+2=0距离为b。 即b=2/√2=√2。所以b²=2
e=c/a=√3/3，即c²/a²=1/3，又a²=b²+c²，所以(a²-b²)/a²=1/3，求出a²=3。
所以椭圆方程为x²/3+y²/2=1。
（Ⅱ）由题意可设P(x₁，y₁)，M(x₁，y₂)。∣OP∣/∣OM∣=λ。即OP²/OM²=λ²。
OP²=x₁²+y₁²，OM²=x₁²+y₂²。又x₁²/3+y₁²/2=1，所以y₁²=2-2x₁²/3。代入OP²/OM²=λ²得：
[(3λ²-1)/6]x₁²+(λ²/2)y₂²=1。因为√3/3≤λ≤1。
当λ=√3/3时，(3λ²-1)/6=0，此时有y₂=±√6.。所以轨迹为两条与x轴的直线。
当√3/3＜λ≤1时，(3λ²-1)/6＞0，λ²/2＞0，且(3λ²-1)/6＜λ²/2。所以轨迹为以x轴为长轴，y轴为短轴的椭圆。