Question

概率论中的怎么证明两个随机变量独立

Answer 1

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结

解题方法总结
解题方法总结
2019年12月31日
随机变量的独立性：如果对任意x,y都有P{X<=x,Y<=y}=P{X<=x}P{Y<=y}，即F(x,y)=Fx(x)Fy(y)，则称随机变量X与Y相互独立。

随机变量相互独立充要条件：

（1）离散型随机变量X和Y相互独立的充要条件：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
离散型随机变量相互独立的充要条件

（2）连续型随机变量X和Y相互独立的充要条件：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
连续型随机变量相互独立的充要条件

题型一：离散型随机变量相互独立的判定

例1：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
解题思路：本题先求出联合分布，在判断独立性时，若联合分布有零元，但边缘分布不全为零，则随机变量不独立。

解：由题意得：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
题型二：连续性随机变量独立性得判定

例2：

概率论与数理统计之随机变量的独立性问题方法总结
解题思路：先求出边缘密度函数，再利用f(X,Y)是否等于边缘密度函数的乘积。

解：由题意得：

Answer 2

随机变量独立的充要条件：
对于连续型随机变量有：F(X，Y)=FX(X)FY(Y)，f(x，y)=fx(x)fy(y)；
对于离散型随机变量有：P(AB)=P(A)P(B)

Answer 3

一种是有分布律或者概率密度时，
联合分布律=边缘密度相乘
二是只能得到两个随机变量的方差和期望时
求相关系数是否为0即可（只有在两者的联合概率密度是正太分布时才能从不相关推到独立）
这两种方法能主要对应有具体分率律或者概率密度的题和只有抽象概率但能算出期望和方差的题

Answer 4

高数叔讲概率统计12：二维连续型随机变量及其分布 来源于：高数叔

Answer 5

随机变量独立的充要条件：
对于连续型随机变量有：F(X，Y)=FX(X)FY(Y)，f(x，y)=fx(x)fy(y)；
对于离散型随机变量有：P(AB)=P(A)P(B)