Question

高中数学问题？

对一切正整数n，不等式(2x-1)/x>n/(n+1)恒成立，则实数x的取值范围是______

Answer 1

(1) a=1>0， 所以f(x)有最小值，所以f(x)≥f(ln1）=f(0)=1-(0-1)=2, 得证。

(2) 分两种情况

一， a≤0, f(x)是递增函数，此时只有一个零点。

二，a>0，如果此时只有一个零点，那么零点就是最小值f(lna)=0，求得a=e^2。

所以，a得取值范围就是a=e^2或者a≤0。

先对f(x)求导，f(x)'=e^x-a，因为e^x>0，所以当a≤0时，f(x)'>0, 此时函数f(x)一直是增函数。当a>0时，f(x)' 在x>ln(a)区间为正数，在x<ln(a)区间为负数，也就是说当a>0时，原函数f(x)先递减后递增且在x=ln(a)时取最小值。

基本性质

①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）

②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz； [1]  （乘法原则）

⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)

Answer 2

解：（2x－1）／x＞n／（n＋1），
（2x－1）／x－n／（n＋1）＞0，
｛x（n＋2）－（n＋1）｝／｛x（n＋1）｝＞0
①x（n＋2）－（n＋1）＞0，x＞（n＋1）／（n＋2）；x（n＋1）＞0，x＞0。
∴x＞（n＋1）／（n＋2）
②x（n＋2）－（n＋1）＜0，x＜（n＋1）／（n＋2）；x（n＋1）＜0，x＜0。
∴x＜0
∴综上所述，实数x的取值范围是x＜0或x＞（n＋1）／（n＋2）。

Answer 3

n/(n+1) <1
不等式(2x-1)/x>n/(n+1)恒成立
(2x-1)/x ≥1
(2x-1)/x -1 ≥0
(x-1)/x >0
x<0 or x≥1

Answer 4

(2x-1)/x>n/(n+1)
1/x<2-n/(n+1)
1/x<(2n+2-n)/(n+1)
1/x<(n+2)/(n+1)
x>(n+1)/(n+2)
经检验，
n≥1
x≥1

Answer 5

(2x-1)/x＞n/(n+1)
即2-1/x＞1-1/(n+1)
1/x＜1+1/(n+1)=(n+2)/(n+1)＞1
所以1/x≤1，两边同乘x²，得x≤x²
即x(x-1)≥0
即x≥1或x＜0