Question

lim(x-＞1)3x/(2x-1)=3，用定义证明时开始纵有不妨设或者限制|x-1|小于一个数？

这个数是随便取的还是有一定规则？

Answer 1

极限过程应该是x→∞
lim
f(x)=a:
对于任意的ε>0，存在x>0,当|x|>x时，有|f(x)-a|<ε...............极限过程是x→∞
所以对于本题，解法如下
对于任意的ε>0，要使|(2x+3)/3x-(2/3)|<ε
只需|(2x+3)/3x-(2/3)|=|3/3x|=1/|x|<ε
也就是|x|>1/ε
从而取x=1/ε>0，当|x|>x时，有|(2x+3)/3x-(2/3)|<ε
综上，利用函数极限的定义可知等式成立。

Answer 2

|||知3x/(2x-1)-3|
=3|道(1-x)/(2x-1)|
=3|x-1|/|2x-1|,
任给ε回>0,当|x-1|<δ<1/3时|2x-1|=|2(x-1)+1|≥1-2δ,
|3x/(2x-1)-3|<3δ/(1-2δ)<9δ<ε,
只需δ<min{ε/9,1/3},
所以lim(x-＞答1)3x/(2x-1)=3。