Question

已知函数f(x)=(a-1/2)x^2+lnx,(a∈R). 1)当a=1时，求f（x)在区间[1，e]上的最大值和最小值。 2）在区间[1，

已知函数f(x)=(a-1/2)x^2+lnx,(a∈R).
1)当a=1时，求f（x)在区间[1，e]上的最大值和最小值。
2）在区间[1，+∞]上，函数f(x)的图像恒在直线y=2ax下方，求a 的取值范围。

Answer 1

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/4580d465-17e1-406d-871e-f4b99c5af18b
解（Ⅰ）当a=1时，f(x)=
1
2
x2+lnx，f′(x)=x+
1
x
=
x2+1
x
．
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（档氏x）在区间[1，e]上为增函数．
∴fmax(x)=f(e)=1+
e2
2
，fmin(x)=f( 1 )=
1
2
（Ⅱ）令g(x)=f(x)-2ax=(a-
1
2
)x2-2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+
1
x
=
(2a-1)x2-2ax+1
x
=
(x-1)[(2a-1)x-1]
x
．①若a＞
1
2
，令g'（x）=0，得极值点x1=1，x2=
1
2a-1
．当x2＞x1=1，即
1
2
＜a＜1时，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0．
此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤
1
2
，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减派大函数
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)=-a-
1
2
≤0⇒a≥-
1
2
．由此求得a的范围是[-
1
2
，
1
2
]．综合行羡散①②可知，当a∈[-
1
2
，
1
2 ]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．

Answer 2

(1)首先对f(x)求导 f'(x)=x+1/x,
令f'(x)=x+1/悉塌x=0，f'(x)恒大于0，说明它是递增函数，
所以在两个端点取最大跟最小，最小为f(1)=1/2 ,最大为f(e)=1/2e^2+1
(2)在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图像恒在直线y=2ax的下方

也就是说f(x)<2ax对于一切x∈(1,+∞)恒成立

即

(a-0.5)x^2+lnx<2ax 对于一切x∈(1,+∞)恒成立

(2x-x^2)a>lnx-0.5x^2

1.

1<x<2时2x-x^2>0

a>(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)

令g(x)=(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)

求导得:

g'(x)={[(1/x)-x]/(x^2-2x)}-[2(x-1)(lnx-0.5x^2)/(x^2-2x)^2]

=[2-x^2-x+2(x-1)lnx]/(x^2-2x)^2

令g'(x)=0,则有:

2-x^2-x+2(x-1)lnx=0

2(x-1)lnx-(x^2+x-2)=0

2(x-1)lnx-(x+2)(x-1)=0

(x-1)(2lnx-x-2)=0

x=1为其驻点,

2lnx-x-2=0时lnx=0.5x+1

用作图法求出:

两者无交点，故原函数只有一个驻点x=1

此时为(1,2)上的极大值点:

故a≥g(1)=-0.5

2.当a=2时2x-x^2=0

lnx-0.5x^2<0

采用作图法:

显然成立,故a=2时可行

3.当a>2时2x-x^2<0

a<败拍(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)

g'(x)<0,g(x)单调减察陆羡,故

a≤lim(x→+∞)(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)

=lim(x→+∞){-[lnx/(x^2-2x)]+0.5x/(x-2)}

=lim(x→+∞)-[lnx/(x^2-2x)]+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]

=lim(x→+∞)-{1/[2x(x-1)]}+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]

=0+0.5=0.5

故a≤0.5

综上所述,a∈[-0.5,0.5]∪{2}