已知函数f(x)=(a-1/2)x^2+lnx,(a∈R). 1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值。 2)在区间[1,
已知函数f(x)=(a-1/2)x^2+lnx,(a∈R).1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值。2)在区间[1,+∞]上,函数f(x)的图像恒在...
已知函数f(x)=(a-1/2)x^2+lnx,(a∈R).
1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值。
2)在区间[1,+∞]上,函数f(x)的图像恒在直线y=2ax下方,求a 的取值范围。 展开
1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值。
2)在区间[1,+∞]上,函数f(x)的图像恒在直线y=2ax下方,求a 的取值范围。 展开
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解(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
1
2
x2+lnx,f′(x)=x+
1
x
=
x2+1
x
.
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.
∴fmax(x)=f(e)=1+
e2
2
,fmin(x)=f( 1 )=
1
2
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
1
2
)x2-2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞).
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+
1
x
=
(2a-1)x2-2ax+1
x
=
(x-1)[(2a-1)x-1]
x
.①若a>
1
2
,令g'(x)=0,得极值点x1=1,x2=
1
2a-1
.当x2>x1=1,即
1
2
<a<1时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0.
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
1
2
,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0.
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-
1
2
≤0⇒a≥-
1
2
.由此求得a的范围是[-
1
2
,
1
2
].综合①②可知,当a∈[-
1
2
,
1
2 ]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
解(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
1
2
x2+lnx,f′(x)=x+
1
x
=
x2+1
x
.
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.
∴fmax(x)=f(e)=1+
e2
2
,fmin(x)=f( 1 )=
1
2
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-2ax=(a-
1
2
)x2-2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞).
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+
1
x
=
(2a-1)x2-2ax+1
x
=
(x-1)[(2a-1)x-1]
x
.①若a>
1
2
,令g'(x)=0,得极值点x1=1,x2=
1
2a-1
.当x2>x1=1,即
1
2
<a<1时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0.
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
1
2
,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0.
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=-a-
1
2
≤0⇒a≥-
1
2
.由此求得a的范围是[-
1
2
,
1
2
].综合①②可知,当a∈[-
1
2
,
1
2 ]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
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(1)首先对f(x)求导 f'(x)=x+1/x,
令f'(x)=x+1/x=0,f'(x)恒大于0,说明它是递增函数,
所以在两个端点取最大跟最小,最小为f(1)=1/2 ,最大为f(e)=1/2e^2+1
(2)在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图像恒在直线y=2ax的下方
也就是说f(x)<2ax对于一切x∈(1,+∞)恒成立
即
(a-0.5)x^2+lnx<2ax 对于一切x∈(1,+∞)恒成立
(2x-x^2)a>lnx-0.5x^2
1.
1<x<2时2x-x^2>0
a>(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)
令g(x)=(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)
求导得:
g'(x)={[(1/x)-x]/(x^2-2x)}-[2(x-1)(lnx-0.5x^2)/(x^2-2x)^2]
=[2-x^2-x+2(x-1)lnx]/(x^2-2x)^2
令g'(x)=0,则有:
2-x^2-x+2(x-1)lnx=0
2(x-1)lnx-(x^2+x-2)=0
2(x-1)lnx-(x+2)(x-1)=0
(x-1)(2lnx-x-2)=0
x=1为其驻点,
2lnx-x-2=0时lnx=0.5x+1
用作图法求出:
两者无交点,故原函数只有一个驻点x=1
此时为(1,2)上的极大值点:
故a≥g(1)=-0.5
2.当a=2时2x-x^2=0
lnx-0.5x^2<0
采用作图法:
显然成立,故a=2时可行
3.当a>2时2x-x^2<0
a<(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)
g'(x)<0,g(x)单调减,故
a≤lim(x→+∞)(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)
=lim(x→+∞){-[lnx/(x^2-2x)]+0.5x/(x-2)}
=lim(x→+∞)-[lnx/(x^2-2x)]+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]
=lim(x→+∞)-{1/[2x(x-1)]}+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]
=0+0.5=0.5
故a≤0.5
综上所述,a∈[-0.5,0.5]∪{2}
令f'(x)=x+1/x=0,f'(x)恒大于0,说明它是递增函数,
所以在两个端点取最大跟最小,最小为f(1)=1/2 ,最大为f(e)=1/2e^2+1
(2)在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图像恒在直线y=2ax的下方
也就是说f(x)<2ax对于一切x∈(1,+∞)恒成立
即
(a-0.5)x^2+lnx<2ax 对于一切x∈(1,+∞)恒成立
(2x-x^2)a>lnx-0.5x^2
1.
1<x<2时2x-x^2>0
a>(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)
令g(x)=(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)
求导得:
g'(x)={[(1/x)-x]/(x^2-2x)}-[2(x-1)(lnx-0.5x^2)/(x^2-2x)^2]
=[2-x^2-x+2(x-1)lnx]/(x^2-2x)^2
令g'(x)=0,则有:
2-x^2-x+2(x-1)lnx=0
2(x-1)lnx-(x^2+x-2)=0
2(x-1)lnx-(x+2)(x-1)=0
(x-1)(2lnx-x-2)=0
x=1为其驻点,
2lnx-x-2=0时lnx=0.5x+1
用作图法求出:
两者无交点,故原函数只有一个驻点x=1
此时为(1,2)上的极大值点:
故a≥g(1)=-0.5
2.当a=2时2x-x^2=0
lnx-0.5x^2<0
采用作图法:
显然成立,故a=2时可行
3.当a>2时2x-x^2<0
a<(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)
g'(x)<0,g(x)单调减,故
a≤lim(x→+∞)(lnx-0.5x^2)/(2x-x^2)
=lim(x→+∞){-[lnx/(x^2-2x)]+0.5x/(x-2)}
=lim(x→+∞)-[lnx/(x^2-2x)]+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]
=lim(x→+∞)-{1/[2x(x-1)]}+lim(x→+∞)[0.5x/(x-2)]
=0+0.5=0.5
故a≤0.5
综上所述,a∈[-0.5,0.5]∪{2}
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