Question

用数字12345678组成的无重复数字的八位数中是十一的倍数有多少个

Answer 1

解:八位数若是11的倍数，则从后往前数的奇数位之和一偶数位之和二11的倍数或0，∴数字的组合可以为21435678而奇数位1368和偶数位2457它们各自的和之差为0，又它们自身的4个数字之间可交换A4(4)ⅩA4(4)=24X24=576个若前面1368，4个奇数位和2457，4个偶数位整体交换一下位置又能增加A4(4)XA4(4)=576个∴综上共有576X2=1152个

Answer 2

解法之一如下：
因为一个八位数“是11的倍数”等价于：“它的个,百,万,百万位上数字之和(记为A)与十,千,十万,千万位上数字之和(记为B)的差A-B是11的倍数”，而本题中的八位数各个位上的数字总和为1+2+3+4+5+6+7+8=36，即有A+B=36,且A,B>0，所以A-B至多能等于0或±11或±22或±33；
若A-B等于±11或±33，与A+B=36联立求解易见此时A,B都不是整数，若A-B等于±22，与A+B=36联立可解得此时A,B的值是29和7，但1,2,3,4,5,6,7,8中最小的四个数之和为1+2+3+4=10>7，所以A-B只能等于0，故有A=B=18；
现从1,2,3,4,5,6,7,8中无重复选出四个数作个,百,万,百万位上数字，共有8种和等于18的选法：(1,2,7,8)，(1,3,6,8)，(1,4,5,8)，(1,4,6,7)，(2,3,5,8)，(2,3,6,7)，(2,4,5,7)，(3,4,5,6)，对于每一种选法，其中的四个数全排列到个,百,万,百万位上，其余的四个数全排列到十,千,十万,千万位上，这样即可得到符合题意的所有的八位数，且从这个选取及排列的步骤易得这样的八位数的总个数为
8A₄⁴A₄⁴＝4!×4!×8＝576×8＝4608(个).