Question

已知圆C:x^2+y^2=r^2(r>0)经过点(1,根号3)

（1）求圆得直线方程
（2）是否存在经过点（-1,1）的直线l，它与圆C相交于A,B两个不同的点，且满足向量MO=二分之一倍向量OA+二分之根号下3倍向量OB（O为坐标原点）关系得点M也在圆C上，如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）由圆C：x2+y2=r2，再由点（1，）在圆C上，得r2=12+（）2=4
所以圆C的方程为
x2+y2=4；
（2）假设直线l存在，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
M（x0，y0）
①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：
y-1=k（x+1），
联立消去y得，
（1+k2）x2+2k（k+1）x+k2+2k-3=0，
由韦达定理得x1+x2=-=-2+，
x1x2==1+，
y1y2=k2x1x2+k（k+1）（x1+x2）+（k+1）2=-3，
因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在圆C上，
因此，得x12+y12=4，
x22+y22=4，
由=+得x0=，y0=，
由于点M也在圆C上，
则=4，
整理得，+3+x1x2+y1y2=4，
即x1x2+y1y2=0，所以1++（-3）=0，
从而得，k2-2k+1=0，即k=1，因此，直线l的方程为
y-1=x+1，即x-y+2=0，
②若直线l的斜率不存在，
则A（-1，），B（-1，-），M；
+=4-≠4，
故点M不在圆上与题设矛盾
综上所知：k=1，直线方程为x-y+2=0

Answer 2

1)过点（1，根号3）得出r=2
得出圆的方程为x^2+y^2=4
2）设A(x1,y1),B(x2,y2)
A、B在直线l上，过（-1,1）点
l可写成y=(x1-x2)/(y1-y2)*(x+1)+1
然后x1,y1满足圆的方程x^2+y^2=4
带进去。。。。然后再用那些已知条件算吧。。。哎，太多，不好打啊

Answer 3

（1）圆有标准方程，一般方程，哪有直线方程？标准方程是x^2+y^2=4.
(2)假设存在，1°若斜率不存在，则y=-1,A(-1,3^(1/2)),B(-1,-3^(1/2)),(A B坐标可换)
由题可知M(-(1+3^(1/2))/2,(3^(1/2)-3)/2)，∵xM^2+yM^2≠4，与M在圆上矛盾，故y=-1不合题意。
2°斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)+1……与圆的方程联立可得A、B的坐标，后边做法同上