Question

高中数学数列的构造法是什么？怎么使用？？？最好有例题分析

Answer 1

数列构造法能解决很多数列难求的问题，但不是绝对好用。碰到无法构造的需要猜想，证明等方法。
例1： a1=1， an+1=2an + 3*（1/2）^(n+1)
看好，前后像等比，却又多了一项，且此时该等比数2和后面加的那个（1/2）不一样。这一点很重要，我们构造形式一致：
【an+1+p*（1/2）^(n+1)】=2【an + p*（1/2）^(n+1)】 看到一定要凑形式上的一致。 待定系数，反过来展开和原来式子作比对。对应系数，项都相等。
得p=1
【an+（1/2）^(n)】这个数列成等比数列，公比为2 ，看好 ，里面的n在变化，这是第n项，下一项是n+1 里面1/2的指数那里当然相应地也是n+1 ，这就是形式上严格一致。渗透了待定系数的思想原理。

例2： 已知正数数列列：nan -（n+1）a（n+1）=2n（n+1）an*an+1 ，求an，n∈N*
此题连同上面一道题都是我亲手现编的，可以看到比较复杂。
但是这道题目不难发现，两边n（n+1）存在重复情形，所以两边做除法，反正n∈N*，可以除。而且一样的是，an*a（n+1）和上面n（n+1）也是一样重复，又是正数列，除吧。
一做除法，欣然欢喜：1/(n+1)*a(n+1) - 1/n*an=2 原来1/n*an 是倒数成等差数列啊。
此题上来一个大式子很吓人，稍作变形，而且往倒数方向考虑，约去重复对称的项和式子。拨云见日。

Answer 2

数列构造法主要是指从题干中总结出数量之间的渐变关系，即数列中递推公式，从而对题目进行解答的方法，下面举个例子说明下

例如：在一个容量为1.5升（L）的杯子中有1L水外加0.5L纯牛奶混合均匀，刚好装满杯子（这里不考虑密度问题）。然后进行如下步骤：1，从杯子中倒1/3（水和奶的）混合物后往杯子中加满水
2，从杯子中从杯子中倒1/3（水和奶的）混合物后往杯子中加满水
依次下去，直到第100次从杯子中倒1/3（水和奶的）混合物后，问总共倒出多少纯牛奶？

分析：
对于这个问题就可以构造数列给予解决，现设在第n（n＝1，2,3，）次后杯子中剩有的 牛奶为a（n）
则根据题目
　　（第n+1次倒后杯中牛奶量为 第n次剩下的减去第n+1次倒掉的量）
　　　　　　　a(n+1)=a(n)-1/3*a(n)=2/3*a(n)
上式便建立了一个数列递推式，即所谓的构造过程，下面便可利用此式和等比数列知识知道
a（n）为一等比数列，且a(n)=0.5*(2/3)^n (^ 表示指数符号,A^B表示A的B次幂）,这样，总共倒出的牛奶量为 0.5-0.5*（2/3)^100 (L)