Question

无穷限积分e^-x^2在0到正无穷上的不定积分

Answer 1

结果是（√π）/2，统计学里面有个正态分布公式，令g(x)=e^(-x^2)

则：

正态分布的特点是μ或是σ取任何有意义的值，f(x)在（-∞，+∞）上的积分为1，且关于y轴对称，即：（0，+∞）上的积分为1/2

那么(1/√π)e^(-x^2)在（0，+∞）上的积分为1/2

由于(1/√π)是常数，则积分结果就是(√π)/2

扩展资料

例如：∫ e^[(1+y)t] * sint dt

z = 1+y，只是简化常数项，不包括自变数t

= ∫ e^zt * sint dt

= -∫ e^zt dcost

= -e^zt * cost + z*∫ cost * e^zt dt，分部积分法

= -e^zt * cost + z*∫ e^zt dsint

= -e^zt * cost + z*e^zt * sint - z??*∫ sint * e^zt dt，分部积分法，后移项

(1+z??)∫ e^zt * sint dt = z*e^zt * sint - e^zt * cost = e^zt * (z*sint - cost)

∫ e^zt * sint dt = e^zt * (z*sint - cost) / (1+z??) + c，之后代回常数项变换

∫ e^[(1+y)t] * sint dt = e^[(1+y)t] * [(1+y)sint - cost] / [1+(1+y)??] + c'

定积分：将定积分∫(a->b) f(t) dt = lim(t->b) F(t) - lim(t->a) F(t)化为极限计算

∫(0->inf) e^[(1+y)t] * sint dt

= 1/[1+(1+y)??] * {lim(t->inf) e^[(1+y)t] * [(1+y)sint - cost] - lim(t->0)e^[(1+y)t] * [(1+y)sint - cost]}

= 1/[1+(1+y)??] * [0 - (-1)]

= 1/[1+(1+y)??]

参考资料来源：百度百科-正无穷

Answer 2

1、楼主的这一积分，是正态分布 = normal distribution，

     误差函数 = error function 的主题问题；

2、这一被积函数 = integrand，是从物理学、化学、天文学

     的一个共同假设而来，这就是 homogeneous = 各向同性，

     把物理思想进行数学分析严格推导所得到的函数；

3、具体积分涉及到将一元函数的一重积分通过极坐标转化为

     二重积分，具体过程如下；

4、若看不清楚，请点击放大；

5、若有疑问、质疑，敬请随意追问，有问必答，有疑必释。