Question

已知函数f（x）＝log2（x－a）的图像经过点P（2a，1）

（1）求a的值（2）设g（x）＝f（x）＋b，若函数y＝g（x）在（3，4）有且仅有一个零点，求实数b的取值范围

Answer 1

函数f（x）＝log2（x－a）的图像经过点P（2a，1）
即有1=log2(2a-a)=log2(a)
得到a=2
(2)g(x)=log2(x-2)+b在(3,4)有且只有一个零点,则有:
f(3)*f(4)<0
即[log2(3-2)+b][log2(4-2)+b]<0
b(1+b)<0
得到:-1<b<0

Answer 2

（1）f(2a)=log2(2a-a)=log2(a)=1，所以a=2
（2）g(x)=f(x)+b=log2(x-2) +b，在(3,4)上单调递增
则g(x)min=g(3)=b，g(x)max=g(4)=1+b
要使函数y＝g(x)在(3，4)有且仅有一个零点
那么b<0<1+b，所以-1<b<0
即实数b的取值范围为(-1,0)

Answer 3

f（x）＝log2（x－a）经过（2a,1）这点则a=2
g（x）＝f（x）＋b 则g（x）=log2（x－2）+b因为g（x）是增函数要想其在（3，4）内只有一个零点则必将函数f（x）向下移动b个单位，则b小于0即可