Question

一个线性代数问题，求解如图所示矩阵的特征值，谢谢啦。

Answer 1

A 是对称矩阵， 则 (A^T)A = A^2.
|λE-A| =
|λ-4 1 -1|
| 1 λ-4 2|
|-1 2 λ-4|
= (λ-4)^3 - 6(λ-4) - 4
= (λ-4+2)[(λ-4)^2-2(λ-4)-2]
= (λ-2)(λ^2-10λ+22)
得 A 的特征值为 2， 5-√3， 5+√3
则 (A^T)A 的特征值即 A^2 的特征值是 4， 28-10√3， 28+10√3。

Answer 2

大家好，我们接着更新线性代数系列。小编把线性代数的内容划分成24部分，对应着太极拳24式。上一节中我们学习的是“起手势”，其主要内容是回顾了行列式(determinant)的发展历史及学习了行列式计算的定义法、利用行列式性质的方法、升阶法、降阶法、拉普拉斯(laplace)定理(The big formula)。
拉普拉斯
那么，我们今天接着修炼“左右野马分鬃”的内容，也即行列式计算总结部分的数学归纳法、递推法、拆分法，以及会简单提及一个特殊的行列式-范德蒙德(Vandermonde)行列式，威力巨大，可以拿下行列式的半壁江山。(集中注意力！下面教大家一个别人计算10分钟，你却能口算的方法。)
数学归纳法
首先说明，数学归纳法有2种，第一数学归纳法和第二数学分配方法，我们行列式计算中使用的是第一数学归纳法。
范德蒙德行列式(Vandermonde determina)
范德蒙德行列式
范德蒙德行列式作为一类特殊的行列式，范德蒙德行列式的证明无论是在考研等考试中，还是是在许多数学应用中都会有所用到，我们来看下列的证明过程。
证明过程
当然，如果假设n-1时成立，证明n时也成立，是一样的意思。对于范德蒙德行列式的证明，其实方法不仅限于使用第一类数学归纳法。我们还可以使用递推法、构造多元多项式法，下面我们就来讲述递推法。
数学
递推法
使用递推法的关键在于寻找D、D与D之间的关系式。我们来看又是如何使用递推法来证明范德蒙的行列式。
证明过程
倒数第2步是如何推得倒数第1步的呢，只需要重复上面的步骤，递推即可。除此之外，递推法还普遍适用于三对角行列式的计算。(后面会专门详细更新三对角行列式的计算问题)
数学
拆分法
拆分法在行列式计算中十分重要，它能拿下行列式计算问题的半壁江山。当然，也要求我们有一点逻辑思维能力。经常有同学问我特征值的计算问题，求解特征值使用公式｜λE-A｜，最后都归结为一个含有λ的行列式计算问题。从而计算过程变得较为复杂，正确率也急剧下降。可如果你学会了拆分法，会下面这道题，你可以直接口算出正确答案。
例题
在前面的文章中，我们已经提到了这道题，是小编大学时的笔记，给出了4种解法。我们下面主要来梳理拆分法的逻辑过程。
问题分析：观察行列式，我们发现行列式的主对角线上元素都为a，其余元素都为b。自然的，我们会想如果把全部的a都变成b，或者能把一个a变成一个b，那问题就变得简单了。由此，我们把第1行第1列a变成a-b+b，第1列的b改为0+b，再利用行列式拆分的性质，从而得到了一个递推式，观察发现它是一个等差数列，利用高中数列知识求解即可。（需要注意的是，要把a等于b的情况单独列出来。)如下图所示
解题过程
若按前面提到的，把所有的b都改为a-b+b，利用行列式的拆分性质，我们可以拆分为2个行列式。在利用若行列式两行或两列相同，那么行列式的值为0的性质。最后，只剩下两类行列式。
拆分
①全为b的列只能出现一次，其余为一个a-b和n-1个0组成的列。全为b的列有从第1列到第n列的n种情况，如下图
1
②第2种情况就是全部都取a-b和0组成的列，如下图
2
第1种情况的n倍，加上第2种情况就是我们上面的答案了。
数学
说到这里，有些同学可能会说觉得难。其实不然，线性代数还只是一门基础学科，大家会觉得难，只是没有真正地理解线性代数，例如，不知道矩阵是用来描述线性空间中元素的变换的。
给大家推荐一本全球300多所名校都在用的，京东一个店的好评高达4万多的，某瓣评分9.0的线性代数教材《Linear Algebra Done Right》，作者Sheldon Axler，国内有翻译版《线性代数应该这样学》。
这本教材避开了从抽象晦涩、一脸懵的行列式、矩阵讲解，带你真正的理解什么才是线性代数，而不是填鸭式的学习。这本书无论是在对线性代数的学习，还是对在工作的程序员，都是十分重要的必修课。
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