设f(x)是连续函数,证明？ 5
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考虑等式左边的积分
令t=π-x，则dx=-dt
∫xf(sinx)dt（积分范围0→π）
=-∫(π-t)f(sin(π-t))dt（积分范围π→0）
=∫(π-t)f(sin(π-t))dt（积分范围0→π）
=∫(π-t)f(sint)dt（积分范围0→π）
=∫(π-x)f(sinx)dt（积分范围0→π）
所以
2∫xf(sinx)dt（积分范围0→π）
=∫xf(sinx)dt+∫(π-x)f(sinx)dt（积分范围0→π）
=π∫f(sinx)dt（积分范围0→π）
因此
∫xf(sinx)dt（积分范围0→π）
=π/2*∫f(sinx)dt（积分范围0→π）
令t=π-x，则dx=-dt
∫xf(sinx)dt（积分范围0→π）
=-∫(π-t)f(sin(π-t))dt（积分范围π→0）
=∫(π-t)f(sin(π-t))dt（积分范围0→π）
=∫(π-t)f(sint)dt（积分范围0→π）
=∫(π-x)f(sinx)dt（积分范围0→π）
所以
2∫xf(sinx)dt（积分范围0→π）
=∫xf(sinx)dt+∫(π-x)f(sinx)dt（积分范围0→π）
=π∫f(sinx)dt（积分范围0→π）
因此
∫xf(sinx)dt（积分范围0→π）
=π/2*∫f(sinx)dt（积分范围0→π）
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