Question

已知sinα+cosα=1/3且0<α<π,求sinα-cosα,cos2α

Answer 1

∵sinα+cosα=1/3,
∴两边平方：
sin²α+cos²α+2sinαcosα=1/9
∴2sinαcosα=1/9-1=-8/9<0
∵0<α<π∴sinα>0,cosα<0
∴sinα-cosα>0
∴(sinα-cosα)²=sin²α+cos²α-2sinαcosα=1+8/9=17/9
∴sinα-cosα=√17/3
∴cos2α=cos²α-sin²α=(sinα+cosα)(cosα-sinα)
=1/3*(-√17/3)=-√17/9

Answer 2

sinα+cosα=1/3且0<α<π
可知 π/2<α<π
sina>cosa
(sina+cosa)^2=1/3^2
1+2sinacosa=1/9
2sinacosa=-8/9
sinacosa=-4/9

sina-cosa=√[(sina+cosa)^2-4sinacosa]= √17/3
cos2α=cosa^2-sina^2=(cosa+sina)*(cosa-sina)=1/3*(-√17/3)=√17/9