Question

求I=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,积分曲面为上半球面Z=√a^2-x^2-y^2

答案是2πa^3/5

Answer 1

首先将分母带换掉，这个因为积分函数中每一个点都是在所给曲面上的，投影面也是曲面，不是坐标平面，这个你应当懂吧？？？这是最基本的了，可以将分母换掉，根据曲面方程，或者干脆把曲面方程带入分母，就知道分母为a^2吧？？？不管他了，剩下的部分，用高斯公式了，但是要注意，此时的曲面不是封闭曲面，要添加辅助面的，辅助面为z = 0，另外你的题目不完整，没有说明上半球的那一侧吧？？？只有说明了，才能取辅助面的正方向为上侧还是下侧？知道为何要把分母换掉了吧？？？因为要是不带换分母直接取z=0，则分母中含有使积分函数没有意义的点了，就是原点，因此要提前把分母换掉，再用高斯公式简单的……那么化成三重积分后的式子为∫∫∫（x^2+y^2+z^2）dxdydz，由于你没有给上半球的那一侧，转化为三重积分后的式子是正是负不知道的……可以用球面坐标代换计算，注意，此时你不能在把曲面方程直接带入了，因为此时积分函数中的点不一定满足所给球的方程，因为是三重积分，积分函数可以取封闭曲面内的任意一点，不是都满足Z=√a^2-x^2-y^2的，其实只要取z=0就不满足了吧？？？因此不能再像换分母那样换积分函数了，用球面坐标代换简单……但是求出要还要计算z=0时的曲面积分值，因为你所处的结果为封闭空间的，是由两个曲面叠加后的结果，我们要的只是其中的上半球面，所以当z=0时，带入，得到曲面积分（其实也是二重积分，但是有正负号的，因为你没有给出球取哪一侧，我也判断不出来了……因为此时的积分曲面就是xoy面，所以就是二重积分了）∫∫2xydxdy ，积分范围为圆的方程a^2=x^2-y^2……希望写的对你要帮助