Question

线性代数 向量组线性相关和线性无关的问题

线性相关和线性无关的定义和性质还有相关的定理我怎么也记不住，要么就总是记混了，谁能讲讲如何去理解这方面的性质，或者举些简单容易的具体数字可以帮助记忆的，我比较容易理解式记忆，希望有经验的同学能帮帮忙，介绍一下方法，谢谢

Answer 1

假设给出了a1...ar个向量，向量组A=（a1,a2,...ar），要求判断线性相关性
（1）那么根绝定义来判断的话就是看方程
k1a1+k2a2...+krar=0的解集的数量。
加入只有k1=k2=...=kr=0这一种解，那么向量组a1...ar就是线性无关。
假如还有别的解，那么向量组就是线性相关了。
（2）根据秩来判断。
假如R(a1,a2...ar)=r，那么就是线性无关。
假如R(a1,a2...ar)<r.那么就是线性相关了。
(3)由2推广开，有此方法。
就是求行列式A的值。
当A的行列式不等于0时（即秩为r），向量组线性无关。
当A行列式=0时，向量组线性相关。
一般来说，做这类题常用的就是这几种方法

Answer 2

理论联系实际，从相关具体题目出发，去理解领悟。往往是会做一类题是理解相关定义定理的基础，而不是先苦于理解再做题。即是从实践到认识再从认识到实践的过程，这一过程会加深对知识的理解。因此，我们在做一道题时应多分析勤总结基本定义定理的运用。希望对你有些帮助，至少我也是这样学习线性代数的。

Answer 3

【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn

【解答】
|A|=1×2×...×n= n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。
则 Aα = λα
那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α
所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α

A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n

【评注】
对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

Answer 4

向量组线性相关：就是向量组里面的只要有一个向量能由其余的向量线性表示
例如：含有0的向量组必线性相关 因为向量0可以由向量组里其余任意数量的向量表示（只要向量的系数K均为0就行）