Question

求函数f(x)=丨sinx丨+2丨c0sx丨的值域

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Answer 1

函数f(x)=丨sinx丨+2丨c0sx丨的值域
f(x)=丨sinx丨+2丨c0sx丨=根号5sin（x+A）
x∈[0，π/2]
2/根号5≤根号5sin（x+A）≤根号5
函数f(x)=丨sinx丨+2丨c0sx丨的值域是[2/√5，√5]

Answer 2

显然，y=f(x)>0，平方得
y²=sin²x+4cos²x+4|sinxcosx|=1+3cos²x+4|sinxcosx|≥1，
易知当且仅当cosx=0时，y=f(x)取最小值1。
又y²=1+3cos²x+4|sinxcosx|=1+(3/2)(cos2x+1)+2|sin2x|
=5/2+(3/2)cos2x+2|sin2x|≤5/2+√[(3/2)²+2²]=5，
显然上述等号能取到，所以y=f(x)的最大值为√5。
故f(x)的值域为[1，√5]。