Question

两道几何题求解

第一题：如图，已知∠BAC=90°，AB=BC，AD=DC，AE⊥BD。求证∠ADB=∠CDE（写出四种证法）

第二题：如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE+DF为定值（写出三种证法）

谢谢！！！！
打错了对不起。。第一题是AB=AC

Answer 1

第一题。一、过C作AC的垂线交AE的延长线于D'(图一)，可证△AD'C≌△BDA，得∠5=∠3

D'C=DC，再证△D'CE≌△DCE，得∠5=∠4=∠3。

二、作斜边BC上的高AO，可证△BAF≌△ACE，得AF=CE(图二)，再证△AFD≌△CED.。

三、作斜边BC上的高AO，连接OD，则OD⊥AC，(图三)。可证Rt△BOF≌Rt△AOE，得OF=OE，FE∥AC，故OD是FE的垂直平分线，DF=DE，得∠8=∠9，∠3=∠4。

四、过E作EH⊥A，垂足为H(图四)，在Rt△BAD中tanADB=AB/AD=2，若求得tanCDE=2

则命题得证。设DH=x，AB=2，那么AD=DC=1,HC=EH=1-x,由∠AEH=∠ADB得tanAEH=

AH/HE=(1+x)/(1-x)=2，解得x=1/3，所以tanCDE=EH/DH=(1-x)/x=2，故∠ADB=∠CDE。

第二题。一、作CA边上的高BH，过D作CA的平行线把BH分为BI和IH两部分，证IH=DF；

BI=DE，则DE+DF=BH=定值。见图五。

二、延长DF到G，使DG=BH=定值，连接HG，证BDGH是平行四边形，再证FG=DE即可。

见图六。

三、记底边BC=a，底角为α，BD=m，则DC=a-m。那么DE=msinα，DF=(a-m)sinα,

DE+DF=msinα+(a-m)sinα=asinα=BH=定值。（图七）。

Answer 2

第一题题出错了吧