微分方程y=e^2x-y满足初始条件当x=0时y=0的特解怎么求?
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说明：题目打错了!应该是“微分方程y'=e^2x-y满足初始条件当x=0时y=0的特解怎么求?”
∵原方程的齐次方程y'=-y ==>dy/y=-dx
==>ln│y│=-x+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=Ce^(-x)
∴设原方程的通解是y=C(x)e^(-x) (C(x)是关于x的函数)
∵y=C'(x)e^(-x)-C(x)e^(-x)
代入原方程得C'(x)e^(-x)=e^(2x)
==>C'(x)=e^(3x)
==>C(x)=e^(3x)/3+C (C是积分常数)
∴y=[e^(3x)/3+C]e^(-x)=e^(2x)/3+Ce^(-x)
∵当x=0时y=0
∴1/3+C=0 ==>C=-1/3
故原方程的解是y=e^(2x)/3-e^(-x)/3
∵原方程的齐次方程y'=-y ==>dy/y=-dx
==>ln│y│=-x+ln│C│ (C是积分常数)
==>y=Ce^(-x)
∴设原方程的通解是y=C(x)e^(-x) (C(x)是关于x的函数)
∵y=C'(x)e^(-x)-C(x)e^(-x)
代入原方程得C'(x)e^(-x)=e^(2x)
==>C'(x)=e^(3x)
==>C(x)=e^(3x)/3+C (C是积分常数)
∴y=[e^(3x)/3+C]e^(-x)=e^(2x)/3+Ce^(-x)
∵当x=0时y=0
∴1/3+C=0 ==>C=-1/3
故原方程的解是y=e^(2x)/3-e^(-x)/3
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