Question

正交变换

Answer 1

如果对于任意向量 和 ，其内积等于转换后向量 和 的内积，则该转换称之为正交变换

即：

若 在空间 内, 表示维度：

和 分别为 和 中的元素

按照向量模长的定义，可知正交转换后的向量模长与转换前的模长相同：

证明：

因为：

所以：

正交变换不影响转换前后向量间的内积和模长，由此可得，正交变换也不影响转换前后两个向量的夹角

若用矩阵表示 为正交变换, 则 为 正交矩阵