Question

已知三角形内接圆半径为1，求三角形面积最小值。

1不是直角三角形，是等腰三角形
2不准求导，不准用高中及其以上知识
3可以用初中知识与三角函数等。能听懂的思想也行。

Answer 1

应该是等边三角形，面积最小为3√3。证明如下：
1) 由(A-B)²≥0, 得：(A+B)²≥4AB，a+b≥√(4ab); 令A=w+x, B=y+z，有：
(w+x+y+z)²≥4(w+x)(y+z)≥4*√4wx*√4yz=16√wxyz，当w=x=y=z时，等号成立
2) 设三角形三条边为: a,b,c
根据面积公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], 其中p=1/2(a+b+c)
令w=p/3,x=p-a, y=p-b, z=p-c，则：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=√3wxyz ≤ √3/16*(w+x+y+z)² = √3/16*(p/3+p-a+p-b+p-c) ²= √3/16*[2/3*(a+b+c)]²
当w=x=y=z, 即p/3=p-a=p-b=p-c, 即a=b=c时，有：
a=b=c=2√3
S=√3/16*[2/3*(a+b+c)]²=3√3

追问

谢谢你的方法，我大概看懂了，只是海伦公式还不熟练。
对了，麻烦询问一下，请问你的能力在几年级的水准，我仰望一下差距。

追答

初中水平

追问

为什么同是初中水平，差距怎么那么大？
望交流一下学习方法与做过的竞赛书，谢谢！

Answer 2

1、通过圆心连接三角形的三个顶点，再分别作出过圆心到每条边的高；
2、很容易证明是6个或3个完全相等的相似三角形；
3、最小面积为：3

Answer 3

内切圆。。吧。。。（外接圆）。。。等腰三角形A的内切圆的圆心是内角平分线的交点（角平分线上距离到角两边距离相等），再由等腰三角形底边上三线合一（角平分线，中线，高）可得该三角形底边上的高CF等于3倍内切圆半径OF即3，设圆心为O顶点为C，切点分别为D（腰AC上）.E（腰BC上）.F（底边AB上），则三角形OCD，OCE为直角三角形，且OC等于2，OD等于1，则sin∠OCE=sin∠FCB=sin(1/2∠ACB)=OE/OC=1/2,所以∠ACB=60度，所以三角形ABC为等边三角形，又有一条高为3，所以面积为 ： 3乘以根号3 （ 根号打不出来了。。。）

Answer 4

是内切圆？

追问

是，我打错了