Question

如图，四边形ABCD是正方形，MA垂直于平面ABCD，PD平行于MA，E,G,F分别为MB,PB,PC的中点，且AD=PD=2MA.

（1）求证：平面EFC垂直于平面PDC。
（2）求三棱锥P—MAB与四棱锥P—ABCD的体积之比。

Answer 1

(1)因为MA垂直平面ABCD，而PD//MA，所以PD垂直平面ABCD。
因为BC在平面ABCD内，所以BC垂直PD。
在正方形ABCD中，BC垂直CD。
因为PD交CD=D，所以BC垂直平面PCD。
因为G、F分别是PB、PC的中点，所以GF//BC，即GF垂直平面PCD。
因为GF在平面EFG内，所以平面EFG垂直平面PCD。
(2)因为PD//MA，所以P、M、A、D共面。
在平面PMAD中，作PN垂直AM，交AM的延长线于点N(N为垂足)。
设AM=a，则AB=AD=PD=PN=AN=2a。
PN为三棱锥P-MAB的高，三棱锥P—MAB的体积=2a^3/3。
四棱锥P=ABCD的体积=8a^3/3。
所以，三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比为2a^3/3:8a^3/3=1:4。

Answer 2

p-MAB=三角形MAB的面积*高AD*1/3=1/6*AB*AM*AD p-ABCD=ABCD的面积*PD 比为1:4